수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $x=0$을 기준으로 구간을 나누어 함수 $y$ 구하기

$x=0$을 기준으로 절댓값 안의 부호가 어떻게 되는지 확인해 볼게요.

먼저 $x\le 0$일 때는 $e^x\le 1$이므로 $|e^x-1|=-(e^x-1)=1-e^x$가 되고, $|x|=-x$가 됩니다.

따라서 $y=\frac{1}{2}(1-e^x-e^{-x}+1)=1-\frac{e^x+e^{-x}}{2}$가 됩니다.

반면 $x\ge 0$일 때는 $e^x\ge 1$이므로 $|e^x-1|=e^x-1$이 되고, $|x|=x$가 됩니다.

따라서 $y=\frac{1}{2}(e^x-1-e^x+1)=0$이 됩니다.

step2. 각 구간에서 $\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}$ 계산하기

곡선의 길이 공식에 넣기 위해 먼저 $y^{\prime }$을 구하고 $\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}$을 계산해 봅시다.

$x\le 0$ 구간에서는 $y^{\prime }=-\frac{e^x-e^{-x}}{2}$입니다.

$1+(y^{\prime }{)}^2=1+{(-\frac{e^x-e^{-x}}{2})}^2=1+\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}={\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^2$이 됩니다.

이처럼 $1+(y^{\prime }{)}^2$이 완전제곱식이 되어 근호가 깔끔하게 벗겨진다는 점이 계산의 핵심입니다.

따라서 $\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$가 됩니다.

$x\ge 0$ 구간에서는 $y=0$이므로 $y^{\prime }=0$이고, $\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=1$이 됩니다.

step3. 정적분을 계산하여 곡선의 길이 구하기

이제 구한 식을 바탕으로 $-\ln 4$부터 $1$까지의 정적분을 계산해 볼게요.

$L={\int }_{-\ln 4}^0\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx+{\int }_0^{1}1dx$

첫 번째 적분을 계산하면, ${\left[\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right]}_{-\ln 4}^0=\left(\frac{1-1}{2}\right)-\left(\frac{e^{-\ln 4}-e^{\ln 4}}{2}\right)$가 됩니다.

적분 구간의 아래끝인 $-\ln 4$를 대입할 때 $e^{-\ln 4}=\frac{1}{4}$, $e^{\ln 4}=4$가 되는 지수법칙 계산에 실수하지 않도록 주의하세요.

계산하면 $0-\frac{\frac{1}{4}-4}{2}=-\frac{-\frac{15}{4}}{2}=\frac{15}{8}$이 됩니다.

두 번째 적분은 ${\int }_0^{1}1dx=[x{]}_0^1=1$입니다.

따라서 전체 곡선의 길이는 $\frac{15}{8}+1=\frac{23}{8}$이 됩니다.

step1. $x=0$을 기준으로 구간을 나누어 함수 $y$ 구하기

$x\le 0$일 때, $y=\frac{1}{2}(1-e^x-e^{-x}+1)=1-\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

$x\ge 0$일 때, $y=\frac{1}{2}(e^x-1-e^x+1)=0$

step2. 각 구간에서 $\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}$ 계산하기

$x\le 0$에서 $y^{\prime }=-\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

$1+(y^{\prime }{)}^2=1+\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}={\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^2$

$x\ge 0$에서 $y^{\prime }=0⟹\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=1$

step3. 정적분을 계산하여 곡선의 길이 구하기

$L={\int }_{-\ln 4}^0\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx+{\int }_0^{1}1dx$

$={\left[\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right]}_{-\ln 4}^0+[x{]}_0^1$

$=0-\frac{\frac{1}{4}-4}{2}+1$

$=\frac{15}{8}+1=\frac{23}{8}$

$\therefore ①$