수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 포물선의 초점과 준선 찾기

주어진 포물선의 방정식은 $y^2=4px$입니다. 이 기본형에서 초점 $F$의 좌표는 $(p,0)$이고, 준선의 방정식은 $x=-p$라는 것을 알 수 있어요.

step2. 포물선의 정의를 이용하여 거리 표현하기

포물선 위의 점 $P(x,y)$에서 초점 $F$까지의 거리는 점 $P$에서 준선 $x=-p$까지의 거리와 같습니다. 따라서 $\overline{FP}=x-(-p)=x+p$가 됩니다. 여기서 두 점 사이의 거리 공식을 사용하여 $\sqrt{(x-p{)}^2+y^2}$로 계산하려고 하면 식이 너무 복잡해져서 길을 잃기 쉬우니 조심해야 해요. 문제에서 점 $P_1,P_2,P_3$의 $x$좌표가 각각 $p,2p,3p$라고 주어졌으므로, 각 점에서 초점까지의 거리는 다음과 같이 간단해집니다.

$\overline{F{P}_1}=p+p=2p$

$\overline{F{P}_2}=2p+p=3p$

$\overline{F{P}_3}=3p+p=4p$

step3. 조건식을 이용하여 $p$의 값 구하기

문제에서 주어진 조건인 $\overline{F{P}_1}+\overline{F{P}_2}+\overline{F{P}_3}=27$에 방금 구한 식들을 대입해 볼게요.

$2p+3p+4p=27$

$9p=27$

따라서 $p=3$이 됩니다.

step1. 포물선의 초점과 준선 찾기

포물선 $y^2=4px$의 초점 $F(p,0)$, 준선 $x=-p$

step2. 포물선의 정의를 이용하여 거리 표현하기

$\overline{FP}=x+p$   --- 포물선의 정의에 의해

$P_1,P_2,P_3$의 $x$좌표가 각각 $p,2p,3p$이므로

$\overline{F{P}_1}=p+p=2p$

$\overline{F{P}_2}=2p+p=3p$

$\overline{F{P}_3}=3p+p=4p$

step3. 조건식을 이용하여 $p$의 값 구하기

$\overline{F{P}_1}+\overline{F{P}_2}+\overline{F{P}_3}=27$

$2p+3p+4p=27$

$9p=27$

∴ $p=3$